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Francesco CATINO

CORSI

 ALGEBRA I  a.a. 2017– 2018  - 9 CFU (63 ore)

Corso di Laurea in Matematica - I anno (1° semestre)

(Presentazione e) obiettivi formativi del corso

Il corso ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito delle strutture algebriche, in particolare dei gruppi. Particolare cura è data alla comprensione delle argomentazioni e al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti.

Programma (sintetico). Insiemi, sottoinsiemi, coppie, funzioni. Relazioni e teorema sugli insiemi quoziente. Divisibilità, proprietà euclidea degli interi, massimo comun divisore, teorema dell'algoritmo euclideo, numeri primi, lemma di Euclide, teorema fondamentale dell'aritmetica, congruenze modulo un intero, il piccolo teorema di Fermat, il teorema di Wilson. Struttura quoziente associata ad una congruenza modulo un intero. Semigruppi, monoidi, gruppi. Sottogruppi e caratterizzazioni dei sottogruppi di un gruppo. Teorema di Lagrange. Ordine di un elemento di un gruppo e alcune sue proprietà. Teorema di Eulero-Fermat e ridimostrazione del teorema di Wilson. La nozione di isomorfismo. Congruenze di una struttura algebrica. Omomorfismi, monomorfismi, epimorfismi. Teorema generale d'omomorfismo. Gruppi simmetrici. Descrizione delle orbite di una permutazione. Cicli e teorema sulla decomposizione di una permutazione in cicli disgiunti. Caratterizzazione delle permutazioni simili. Elementi coniugati di un gruppo. Equivalenza associata ad un sottogruppo. Sottogruppi normali e congruenza associata. Teoremi di omomorfismo. Teorema di corrispondenza per i gruppi quoziente. Teoremi di Sylow.

Testi di riferimento

Franciosi, S., de Giovanni, F., Elementi di Algebra, Aracne Editrice, Roma, 1992

Dikranjan, D., Lucido, M.S., Aritmetica e algebra, Liguori Editore, Napoli, 2007

Robinson, D.J.K., An Introduction to Abstract Algebra, Walter de Gruyter, Berlin, 2003

Russo, A., Numeri, Gruppi, Polinomi, Aracne Editrice, Roma, 2013

- Sono previste delle note per il corso.

 

Prerequisiti

Non è richiesto alcun prerequisito.

 

Risultati di apprendimento previsti

- conoscenze da acquisire

 possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo algebrico.

- abilità da acquisire

essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi,

essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione

essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Algebra.

 

Metodi di valutazione degli studenti

L'esame finale consiste di una prova scritta e di una prova orale. Gli studenti che ottengono la sufficienza alla prova scritta in un appello possono presentarsi alla prova orale non più tardi dell'appello successivo. Se lo studente non supera la prova orale è tenuto a rifare la prova scritta. Sono  previste due  prove di valutazione intermedie (esoneri), una tra il 13 e il 17 novembre e un'altra prima di Natale e comunque dopo la fine del corso.  Se la medie delle due prove non è inferiore a 18/30 si è esonerati della prova scritta fino all'appello di settembre 2018. Resta inteso che chi non supera la prova orale deve rifare la prova scritta. 

Gli studenti dovranno prenotarsi per l'esame finale, sia alla prova scritta e sia alla prova orale,  utilizzando esclusivamente le modalità on-line previste dal sistema VOL.

 

Metodi didattici e modalità di esecuzione delle lezioni

Lezioni frontali ed esercitazioni

 

Orario delle lezioni 

 Lunedì 9-11,  Martedì 11-13,  Mercoledì 9-11.


Orario di ricevimento studenti (durante il periodo delle lezioni)

Martedì, dalle 15 alle 17.  Altri giorni per appuntamento.

 

Calendario degli appelli: a.a. 2017- 2018  ( e  a.a. 2016 -2017)

15/19 gennaio 2018,  30/5 febbraio 2018, 20/23 febbraio 2018 .

 
 

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ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE  a.a. 2017-2018  - 9 CFU (63 ore)

 Corso di Laurea Magistrale in Matematica - I anno (2° semestre)

Programma (sintetico). Azioni di un gruppo. I teoremi di Sylow. Prodotti semidiretti di gruppi. Serie di un gruppo: definizione ed esempi. Raffinamento di una serie. Serie di composizione: definizione  ed esempi. Serie equivalenti o isomorfe. Lemma di Zassenhaus. Caratterizzazione delle serie di composizione. Teorema di Schreirer. Teorema di Jordan-Holder. Gruppi risolubili: definizioni ed esempi. Proprietà elementari dei commutatori.Catena derivata di un gruppo. Caratterizzazione della risolubilità di un gruppo mediante la serie derivata. Lunghezza derivata di un gruppo risolubile. Proprietà di "chiusura" dei gruppi risolubili. Caratterizzazione dei gruppi simmetrici risolubili. Casi particolari del teorema di Burnside. Definizione di cociclo ed esempi. Proprietà del nucleo di un cociclo. Il cociclo di Wielandt e sue proprietà. Lemma di Gaschutz. Teorema di Schur-Zassenhaus. Costruzione dei gruppi di ordine 42. Automorfismi interni diun gruppo. Automorfismi di alcuni gruppi. Gruppi nilpotenti:definizioni ed esempi. Caratterizzazione della nilpotenza mediante la serie centrale superiore e mediante la serie centrale inferiore. Identità di Hall_Witt. Lemma dei tre sottogruppi. Legami tra la serie centrale superiore e la serie centrale inferiore. Relazione tra la classe di nilpotenza e lunghezza derivata di un gruppo nilpotente. Proprietà di "chiusura" per i gruppi nilpotenti. Un teorema di P. Hall (solo enunciato). Il teorema principale sui gruppi nilpotenti finiti. Il sottogruppo di Frattini ecaratterizzazione. Il teorema di Burnside. I teoremi di Frattini, di Gaschutz e di Wielandt. Il sottogruppo di Fitting di un gruppo finito. Alcuni risultati del sottogruppo di Fitting nei gruppi risolubili. Basi di Sylow di un gruppo finito. Semplicità del gruppo alterno di grado cinque. Il gruppo alterno di grado cinque come gruppo privo di basi di Sylow. Lemma di P. Hall sulle basi di Sylow di un gruppo risolubile. Sottogruppi di Hall di un gruppo finito: definizione ed esempi. Alcune proprietà dei sottogruppi di Hall. Teorema di Hall per i gruppi risolubili finiti. Cenni sulle rappresentazioni di un gruppo. Cenni sui caratteri di un gruppo finito. Teorema di Burnside sulla risolubilità dei gruppi finiti la cui cardinalità non è divisibile per più di due primi. Introduzione al GAP.

Propredeucità. Nessuna.

Testi di riferimento. [1] D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag, New York, 1996;  [2] B.A.F. Wehrfritz, Finite Groups. A second course on group theory, World Scientific Publishing Co., River Edge, 1999; [3] A. Machì, Gruppi, Springer-Verlag  Italia, 2007.

Modalità didattiche. Lezioni frontali ed attività di laboratorio - con frequenza non obbligatoria.

Modalità di valutazione. Esame orale.

Calendario Esami. Secondo il calendario approvato dal Consiglio Didattico in Matematica.

Lezioni.  Mercoledì 15-17,  Giovedì 15-17, Venerdì 9-11.                       

                                                  

 

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ALGEBRA I - Corso di Laurea in Matematica                                     a.a. 2016/17,  2015/16,  2014/15,  2013/14, 2012/13, 2011/12,  2009/10, 2008/09, 2007/08, 2006/07, 2005/06, 2004/05, 2003/04.

ALGEBRA II - Corso di Laurea in Matematica                                 a.a. 2010/11, 2002/03, 2001/02.

TEORIA DEI GRUPPI - Corso di Laurea Magistrale in Matematica      a.a. 2016/17, 2015/16,  2014/15,  2013/14, 2012/13, 2011/12, 2010/11, 

DIDATTICA DELL'ALGEBRA E LABORATORIO DIDATTICO -- TFA     a.a. 2014/15, 2012/13.

 

INTRODUZIONE ALLE FORME QUADRATICHE SU CAMPO  - Corso nell'ambito del Dottorato in Matematica  - XXVII ciclo

ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELLE ALGEBRE ASSOCIATIVE - Corso nell'ambito del Dottorato in Matematica - XXV ciclo

ALGEBRE DI LIE - Corso nell'ambito del Dottorato in Matematica - 2004.

METODI LINEARI NEI GRUPPI NILPOTENTI - Corso nell'ambito del Dottorato in Matematica - 2003

TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI DEI GRUPPI - Corso nell'ambito del Dottorato in Matematica - 2001 (con A. Russo).

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