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Luigi MARTINA

CORSI

 

FISICA TEORICA  (L. Magistrale in Fisica, 6 cfu, a.a. 2013/14)

 

1) Formalismo della matrice densita'

Operatori di stato, operatori Osservabili, postulati della MQ in termini di op. stato. Spazio di Hilbert approntato.  Stati puri e stati miscela: caratterizzazione.  Somme convesse. Criterio di purezza.  Sistemi di singola particella. Coerenze e popolazioni. Ricostruzione degli stati di spin 1/2 e 1. Sfera di Bloch. Esperimento di ricombinazione di spin.  Esempi di stati miscela. Sistemi all'equilibrio termico: oscillatore armonico, sistema a due livelli. Eq. di evoluzione di Liouville-von Neumann. Evoluzione di popolazioni e coerenze. Operatore di evoluzione. Serie di Dyson.  Rappresentazioni di Shroedinger, Heisenberg e di Interazione.  Evoluzione nel formalismo dell'operatore matrice densita'. Eq. di Liouville-von Neumann.  Sistemi composti. Traccia parziale e sue proprieta' . Stati correlati. Classificazione Correlazione/purezza. Teorema del fattore puro. Correlazioni e coincidenze. Relazioni di incertezza per osservabili su stati generali. Misure di Momento angolare. Pacchetti minimi e purezza. Stati quasi-classici per l'oscillatore armonico. Stati coerenti in rappresentazione di energia. Distribuzione di Poisson dell'energia. Relazioni sulla varianza dell'energia, posizione e momento. Operatore di spostamento e sue proprieta'. Completezza e lineare dipendenza degli stati coerenti. Evoluzione temporale  di stati coerenti. Cenno alla decomposizione armonica e quantizzazione del campo elettromagnetico. Stati coerenti del campo e.m..  Fluttuazioni del campo e.m.. Singolo modo. Fluttuazioni del campo di singolo modo. Cenno all'entropia di von-Neumann. Sub-additivita'. Stati marginali e loro entropia.

2) Cinematica e Dinamica della Meccanica Quantistica Non - Relativistica.

Trasformazioni Geometriche continue e discrete, trasformazioni Interne. Trasformazioni di Stati ed Osservabili, Teorema di Wigner e sue conseguenze. Operatori unitari e antiunitari. Gruppi continui , SottoGr 1-parametrici.  Generatori infinitesimi.  Algebra di Lie. Rappresentazioni proiettive. Teorema di Stone.   Algebra di Galilei ed estensioni centrali.   Covarianza dell'evoluzione temporale. Rappresentazioni in L^2. Identificazione di generatori infinitesimi e Variabili Dinamiche: Insiemi Irriducibili di operatori, Lemma di Shur, Teorema di Wintner.  Teorema di von Neumann sull'equivalenza unitaria di coppie di operatori coniugati. Op. Velocita'. Rappr. di Boost,  Momento Angolare,  Spin e Hamiltoniano libero. Regola di superselezione di Bargmann.   Sistemi composti. Interazioni e  Hamiltoniani generali. Momento cinetico e canonico.  Forma generale degli Hamiltoniani per particella singola e sistemi composti.   Simmetrie e leggi di conservazione. Quantita' conservate. Trasformazioni  di Gauge,  Forma covariante dell'eq. di Schroedinger. Densita' di corrente di probabilita' covariante. Particella caricain campo magnetico. equazione per l'op velocita'  in rappr. di Heisenberg.  Livelli di  Landau. Degenerazione degli autostati di energia,  e Effetto Hall Quantistico. Hamiltonianii di Pauli. 

3) Complementi alla teoria del Momento Angolare.

Richiami della teoria del momento angolare. Rotazioni finite. Rotazioni attive e passive e loro rappresentazione nella base di momento angolare.  Ang. Eulero, Rappr J, rapp riduc e irr, rapp R, SU(2)->SO(3),  Rotazioni di   2 pi , regola di superselezione bosoni/fermioni.  Rappr. Rot e Arm. Sferiche. Richiami di teoria della somma di momenti angolari: decomposizione dello spazio di due momenti, degenerazione, cambiamenti di base.  Coefficienti di Clebsh-Gordan. Regole di selezione, regole di ortogonalita', relazioni di ricorrenza, convenzioni di fase, realta', segno, scambio di ordine /segno degli indici.  Autofunzioni Spin-orbitali.   Armoniche sferiche spinoriali.  Somme di armoniche sferiche, prodotti di armoniche sferiche e loro sviluppi, integrali di armoniche sferiche. Simboli 3j, loro simmetrie. Simboli 6j. Operatori Tensoriali Irriducibili, definizioni ed esempi. Elementi di matrice di operatori tensoriali, Teorema di Wigner - Eckart, regole di selezione. Op. Scalari.  Op.  vettoriali. Op. Quadrupolo.  Calcolo del fattore di Lande' dei livelli atomici. Altri esempi.

4) Teoria Quantistica della Diffusione da Potenziale.

Processi d'urto. Sezione d'urto totale e differenziale.  Relazioni tra sistema di riferimento del laboratorio e del centro di massa. Urti in Mecc. Classica. Stati di diffusione stazionari. Forma asintotica degli stati di diffusione stazionari, ampiezza di diffusione. Corrente di probabilita' e sezione d'urto differenziale, interferenza tra onda incidente e diffusa. Diffusione da potenziale sferico. Stati stazionari della particella libera. Equazione di Bessel, sue soluzioni e proprieta'.  Relazione tra onde piane e onde sferiche. Metodo dello sviluppo in onde parziali,  sfasamenti, calcolo degli sfasamenti. Funzione di diffusione e formula dei Wronskiani.  Sezione d'urto in funzione degli sfasamenti. Diffusione da parte di una  sfera dura. Diffusione da parte di una buca finita. Risonanze.  Equazione integrale di diffusione. Operatori di diffusione, funzioni di Green, matrice S e sua unitarieta'. Teorema Ottico. Sviluppo di Born. F. di Green Totale, matrice di trasmissione. Approssimazione di Born, limiti di  validita'. Applicazioni al potenziale di Yukawa, limite di Rutherford.  Applicazione ad interazioni spin-spin e spin - orbita. Urti anelastici. Diffusione di particelle identiche, correlazioni.

5) Metodi di approssimazione.

Approssimazione semiclassica: principi, condizioni di validita' in 1-dimensione, punti di inversione e formule di connessione, Penetrazione in una barriera, livelli energetici in una buca di potenziale. 

6) Particelle Identiche

Spazi di Foch. Operatori di creazione/distruzione per fermioni e bosoni. Cambiamenti di base.  Nozione di operatore di campo. Rappresentazioni di operatori di singola particella. Operatori di coppia. Sistemi a molti-fermioni. Mare di Fermi.

 

Testi di riferimento

L. Ballentine: Quantum Mechanics, World Scientific (2003)

C. Cohen Tannoudji, B. Diu, F. Laloe: Mecanique Quantique, Hermann (1973)

C. Destri, E. Onofri : Istituzioni di Fisica Teorica, La Nuova Editrice Scientifica (1996)

A. Messiah, Quantum Mechanics, North-Holland Pub. Co.  (1962)

J.J. Sakuray:" Advanced Quantum Mechanics", Addison - Wesley Pub. Comp. (1967)

G. Nardulli : Meccanica Quantistica, Franco Angeli, Milano (2001)

 

Modalita' di erogazione: tradizionale

Organizzazione della didattica : lezioni

Modalita' dell'esame:  risoluzione scritta di un problema specifico, con colloquio analitico sullo stesso. Gli studenti possono prenotarsi per l’esame finale esclusivamente utilizzando le modalità previste dal sistema VOL
 

Orario di ricevimento: dal lunedi' al venerdi' ore 9.00-10.00, o su appuntamento

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FISICA DEI SISTEMI NONLINEARI ( L. Magistrale in Fisica, 6 cfu, a.a. 2013/14

in corresponsabilita' con G.  LANDOLFI

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Mod A (G. Landolfi)

  1.  Richiami di Meccanica
  2. Sistemi unidimensionali e loro orbite nello spazio delle fasi.
  3. Sviluppi perturbativi e rimozione di secolarita' per sistemi 1D: l'equazione di Duffing.
  4. Elementi di ottica nonlineare: Generazione di seconda armonica.
  5. PDEs del primo ordine.
  6. Equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs).
  7. Metodo delle caratteristiche. Generazione di onde d'urto.
  8. Equazione di Riemann-Hopf ed equazione del traffico.
  9. Metodi perturbativi per PDEs
  10. Approccio perturbativo ad equazioni di continuita' cinetiche.
  11. Equazioni nonlineari dissipative. Equazioni dispersive.
  12. Limiti di debole nonlinearita' e di dispersione forte.
  13. Equazioni di Korteweg -de Vries (KdV) e di Schroedinger nonlineare (NLS).
  14. Derivazione della KdV e della NLS in contesti fluidodinamici
  15. Richiami di dinamica dei fluidi. Onde debolmente nonlineari in fluido omogeneo e incomprimibile.
  16. Derivazione della KdV e nel limite di dispersione debole.
  17. Derivazione della NLS nei limite di acque poco profonde.
  18. Soluzioni solitoniche di PDEs
  19. Linearizzazione di PDEs. Equazione di Burgers e trasformazione di Cole-Hopf.
  20. Trasformazioni di Miura per l'equazione KdV.
  21. Problema di Fermi-Pasta-Ulam.

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Mod B   (L. Martina)

  1. Problema diretto e Problema inverso associati all’equazione KdV 
  2. Equazione di Gel’fand-Levitan-Marchenko
  3. Potenziali non riflettenti e soluzioni solitoniche
  4. Coppie di Lax e generalizzazioni
  5. Classi di equazioni integrabili : ODE, PDE, Differenziali alle Differenze, Integro-differenziali.
  6. Metodo della Trasformata Spettrale Inversa in 1 dimensione spaziale: Problema Diretto ed Inverso per KdV e Equazione di Schroedinger Nonlineare
  7. Problema di Riemann-Hilbert associato a problemi spettrali
  8. Problemi Inversi in due dimensioni spaziali: Kadomtsev-Petviashvili, Davey-Stewartson
  9. Equazioni di Painleve’ e test di Painleve’
  10. Leggi di Conservazione per equazioni integrabili
  11. Test di integrabilita’ basati sul calcolo delle simmetrie
  12. Formulazione Hamiltoniana
  13. Variabili angolo-azione
  14. Parentesi di Poisson
  15. Operatore di Ricorrenza
  16. Matrice r
  17. Strutture bi-hamiltoniane
  18. Gruppo di Lie-Poisson
  19. Classificazione algebrica dei sistemi integrabili
  20. Modello di Toda
  21. Leggi di Conservazione Topologiche: modello Phi-4, Sine-Gordon

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Testi di riferimento

G. B. Whitham:” Linear and Nonlinear waves”, L. Wiley & Sons, New York, 1974

M.J. Ablowitz, P A Clarkson:” Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering” , Cambridge Univ. Press, 1991 

L.D. Faddeev, L A Takhtajan: ”Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons”, Springer-Verlag, 1980

Altri testi di consultazione

O Babelon, D Bernard, M Talon:” Introduction to Classical Integrable Systems”, Cambridge Univ Press, 2007

T Miwa, M Jimbo, E Date :”Solitons”, Cambridge Univ Press, 2012

P Olver :”Applications of Lie groups to differential equations”, Springer-Verlag, 1993

B Sutherland:”Beautiful Models”, World Scientific, 2004

 Altro materiale sara’ proposto durante le lezioni e opportunamente diffuso.

Modalita' di erogazione: tradizionale

Organizzazione della didattica : lezioni e seminari su tematiche specifiche

Modalita' dell'esame:  applicazione   dei metodi di analisi illustrati durante le lezioni ad un problema specifico.  Gli studenti possono prenotarsi per l’esame finale esclusivamente utilizzando le modalità previste dal sistema VOL

Orario di ricevimento: dal lunedi' al venerdi' ore 9.00-10.00, o su appuntamento

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 TEORIA DEI GRUPPI  (L. Triennale  in Fisica, 6 cfu, a.a. 2012/13)

Nozioni generali

Definizione di Gruppo. Applicazioni tra gruppi. Isomorfimi e omomorfismi. SU(2) e SO(3). Sottogruppi. Cosets e sottogruppi invarianti. Elementi e Classi coniugati. Gr. semplici,  abeliani e semi-semplici. Rappresentazioni. Rappresentazioni regolari. Riducibilita', completa riducibilita'. Rappresentazioni irriducibili. Lemma di Shur. Prodotto diretto di rappresentazioni. Prodotto diretto di Gruppi. 

Gruppi finiti

Definizione e risultati semplici. Teoria delle rappresentazioni. Teoria del carattere. Rappresentazioni regolari. Il gr. delle permutazioni. Cicli. Sue rappresentazioni regolari.

Gruppi di Lie

Definizioni ed esempi. GL(n,C) e i suoi sottogr.. Curve in G. Componente connessa all'identita'. Integrazione invariante. Algebra di Lie. Rappresentazione delle algebre di Lie. Rappresentazione attraverso op. differenziali. Rappresentazioni canoniche. Gruppo ricoprimento universale. Sottogr. uniparametrici. Connettivita'. SO(3), SU(n). Centro di un'algebra. Operatori di Casimir. Rappresentazione aggiunta. Forma di Killing-Cartan. Algebre di Lie semplici e semi-semplici. Compattezza. Rango. Rappresentazioni irriducibilibili di algebre di Lie. Diagrammi di Dynkin.

Gruppi dinamici

Gruppo di Poincare'. Connettivita'. Ricoprimento universale. Algebra di Lie . Gr. di Galilei e di Schroedinger. Contrazione di Inonu-Wigner. Orbite del piccolo gruppo. Rappresentazioni a energia positiva massive. Prodotto di rappresentazioni massive. Stati di massa nulla. Prodotto diretto di stati di particelle identiche.

Gruppi di simmetria di equazioni differenziali

Simmetria di una equazione differenziale. Spazio dei getti. Prolungamento di un campo vettoriale al getto n-esimo. Condizioni di invarianza infinitesima per eq. differenziali. Classificazione delle sotto-algebre rispetto a coniugazione. Soluzioni invarianti. Foliazione invariante dello spazio delle soluzioni. 

 

Fanno parte del corso il ciclo di  seminari " Algebre di Lie" tenuto  dal Prof. R. Chirivi'  dell'Universita' di Pisa.

 

Testi di riferimento

H. F. Jones:"Groups,representations and Physics", Adam Hilger Ltd (1990) Bristol

M. Hamermesh:"Group Theory and its Applications to Physical Problems", Addison-Wesley (1962)

H. Bacry:"Lecons sur la theorie des groups  et le symmetries des particules elementaires",  Gordon and Breach (1967) Paris

S. Sternberg:"Group Theory and Physics", Cambridge University Press (1995) Cambridge

J. E. Humphreys:" Introduction to Lie algebras and representation theory"  (Springer, 1972)

 

Modalita' di erogazione: tradizionale

Organizzazione della didattica : lezioni

Modalita' dell'esame:   colloquio analitico sul programma sviluppato.
 

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 Elementi di Geometria Differenziale in Fisica Teorica (Dottorato in Fisica 3 CFD 2013/2014)

Elementi di Geometria Differenziale delle Varieta', Connessioni sulle varieta', Teoria dell'omologia e co-omologia. Loro applicazioni alla teoria dei campi.

Modalita' di erogazione: lezioni frontali

Organizzazione della didattica : Introduzione generale da manuali di Geometria Differenziale, studio di applicazioni in Fisica Teorica

Modalita' dell'esame:   elaborato scritto su un tema specifico del corso.