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Luigi MARTINA

CORSI

 

FISICA DEI SISTEMI NONLINEARI ( L. Magistrale in Fisica, 6 cfu, a.a. 2016/17

Solitoni mono-dimensionali
L’equazione di Sine-Gordon
Soluzioni di tipo kink e multi kink
Coppia di Lax e soluzione analitica generale
Trasformazioni di Backlund
Metodo di Hirota
Gruppi di Lie di simmetrie puntuali
Riduzioni per simmetria: equazioni di tipo Painlevé
Quantizzazione attorno ad un kink
Fermioni e Modello di Thirring

Solitoni in più dimensioni
Teorema di Derrick
Vortici in teorie di gauge
Metodi omotopici per vortici e stringhe
Quantizzazione di vortici e solitoni topologici
Monopoli di ’t Hooft-Polyakov
Skyrmioni.
Solitoni nel limite Bogomolnii-Prasad-Sommerfeld
Soluzioni multisolitoniche e approssimazione dello spazio dei moduli
Istantoni di Yang-Mills
Soluzioni di Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin.
Alcune loro conseguenze fisiche

Testi:
E. Weinberg, Classical Solutions in Quantum Field Theory, Cambridge Univ. Press (2012)
M.J. Ablowitz, P.A. Clarkson: Solitons, Nonlinear Evolution Equations and inverse Scattering, Cambridge Univ. Press (1991)

 

 

FISICA DEI SISTEMI NONLINEARI ( L. Magistrale in Fisica, 6 cfu, a.a. 2015/16

 

Sistemi con numero finito di gradi di libertà. Il Teorema di Liouville per l'integrabilit`a dei sistemi meccanici. Teorema di Arnold-Liouville - Teorema KAM. Strutture di Poisson. Equazioni Iperboliche. Equazioni delle onde del primo ordine. Soluzioni dell'Eq. di Burgers. Simmetrie dell'eq di Burgerrs. Gerarchia di Burgers. Simmetrie e gruppi di Lie. Gruppi continui. Campi vettoriali su varietà. Sottovarietà integrali e algebre di Lie. Simmetrie di equazioni di equazioni algebriche. Gruppi ed Equazioni differenziali. Calcolo del gruppo di simmetrie per PDE / ODE. Classificazione di algebre di Lie e sottoalgebre rispetto all'azione aggiunta. Soluzioni invarianti per PDE. Riduzione alle ODE. Equazioni di Painleve' . Simmetrie e leggi di conservazione. Simmetrie generalizzate e loro calcolo. Flussi di simmetrie generalizzate. Operatori di Ricorrenza, master symmetries. Formalismo Hamiltoniano per Equazioni di Evoluzione

Testi di riferimento

G. B. Whitham:” Linear and Nonlinear waves”, L. Wiley & Sons, New York, 1974

P Olver :”Applications of Lie groups to differential equations”, Springer-Verlag, 1993

 

Altri testi di consultazione

Dunajski, M. (2009) Solitons, Instantons and Twistors. Oxford Graduate Texts in Mathematics 19, OUP

M.J. Ablowitz, P A Clarkson:” Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering” , Cambridge Univ. Press, 1991 

 

L.D. Faddeev, L A Takhtajan: ”Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons”, Springer-Verlag, 1980

O Babelon, D Bernard, M Talon:” Introduction to Classical Integrable Systems”, Cambridge Univ Press, 2007

T Miwa, M Jimbo, E Date :”Solitons”, Cambridge Univ Press, 2012

B Sutherland:”Beautiful Models”, World Scientific, 2004

 Altro materiale sara’ proposto durante le lezioni e opportunamente diffuso.

Modalita' di erogazione: tradizionale

Organizzazione della didattica : lezioni e seminari su tematiche specifiche

Modalita' dell'esame:  Esposizione seminariale di alcune applicazioni dei metodi di analisi illustrati durante le lezioni.  Gli studenti possono prenotarsi per l’esame finale esclusivamente utilizzando le modalità previste dal sistema VOL

Orario di ricevimento: dal lunedi' al venerdi' ore 9.00-10.00, o su appuntamento

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INTRODUZIONE ALLA FISICA MODERNA  (L. Tri. FISICA, 8 cfu, a.a. 2015/16)
 
La struttura dello spazio-tempo classico Spazio degli eventi. Tempo e struttura foliata dello spazio- tempo.
Distanza euclideo nello spazio. Traslazioni temporali, spaziali, trasf. di Galilei, rotazioni. Parametri delle trasf. di Galilei. Gruppo di Galilei. Invarianza della distanza spaziale. Non abelianita' delle rotazioni. Matrici ortogonali. Sottogruppo proprio delle rotazioni. Inversioni spaziali e riflessioni. Angoli di Eulero.  Determinismo Newtoniano, Equazioni del moto.

Introduzione alla relatività speciale Equazioni di Maxwell e trasformazioni di Galileo. L'esperienza di Michelson-Morley, aberrazione stellare, l'effetto de Sitter, l'esperimento di Fizeau. I principi di Einstein I postulati della relatività speciale. Le trasformazioni di Lorentz. L'intervallo invariante relativistico tra eventi. Lo spazio- tempo di Minkowski, La dilatazione dei tempi. Simultaneità e sequenze temporali tra eventi. Causalità tra eventi. Cono luce. Passato e Futuro di un evento. Gruppo di Lorentz Rappresentazione matriciale delle tr. di Lorentz. Condizione di gruppo. Prodotti e inverse di tr. di Lorentz. Quadrivettori contro varianti e covarianti. Composizione delle velocità e limite relativistico. 
Composizione relativistica delle velocità Prodotto di trasformazioni di L. Proprie. Formula di composizione delle velocità . Contrazione delle lunghezze. Rotazioni dello spazio.  La precessione di Thomas. Il cammino proprio. La quadrivelocità. Sue proprietà invariante associato. Dinamica relativistica L'invariante relativistico del momento. La quadri accelerazione. 

Dinamica a 1 grado di libertà Formulazione come Problema di Cauchy, Teoremi di regolarità delle soluzioni, Flussi, Sistemi autonomi e gruppo uniparametrici di flussi. Piano delle fasi. Campi Vettoriali. Traiettorie. Punti singolari del campo e Punti di Equilibrio. Comportamento dei moti attorno ai punti di equilibrio:  stabile/instabile. Stabilità asintotica. Integrali del Moto. Derivata di Lie di funzioni. Test di integrabilità relativamente ad un campo vettoriale. Energia meccanica di sistemi meccanici ad 1 grado di libertà e autonomi.
Integrali del Moto Il sistema di Lotka-Volterra e il suo integrale del moto. Insiemi di livello nel piano delle fasi e integrali del moto. Varietà invarianti. Varietà invarianti singolari e Stabilità dei punti di equilibrio. Teorema di Lyapunov. 
Trattazione analitica di un sistema a un gr. lib. autonomo lineare. Formulazione matriciale e esponenziazione di matrici. Diagonalizzazione di matrici, autosaloni e autovetture. Caso critico e non diagonalizzabilità della matrice associata al sistema. Oscillazioni smorzate. Nodo stabile, Fuochi. Sistemi Conservativi. Punti di inversione del moto. Moti limitati. Moti periodici. Moti non limitati. Punti sella. Ritratti di fase per sistemi conservativi. Il pendolo. Separatrici. Potenziali centrali. Potenziali Kepleriani e altri . Riduzione alla quadrature. Periodo dei moti limitati. Isocronismo. Moto vicino ai punti di inversione del moto. Moto in prossimità dei punti sella. Limiti del determinismo. Pendolo semplice. Studio qualitativo ed analitico dei moti. Cenno agli Integrali ellittici.
Linearizzazione attorno ai punti di equilibrio e loro classificazione. Diagramma di biforcazione. Il regolatore di Watt, biforcazione a forcone. Analisi di stabilità dell'oscillatore di Van der Pol.

Meccanica Lagrangiana
Classificazione dei vincoli. Coordinate generalizzate (lagrangiane). Esempi. Spostamenti Virtuali infinitesimi. Principio dei Lavori Virtuali.  Equazione del moto. Forze generalizzate. Caso delle forze conservative. La Lagrangiana. Le equazioni di Lagrange.
Le equazioni di Lagrange. Proprietà generali delle equazioni di Lagrange. Coordinate ignorable. Momenti coniugati. Integrali del moto. Calcolo di Reazioni Vincolari.
Sistemi lagrangiani nel limite delle piccole oscillazioni.
Sistemi lagrangiani in presenza di campi esterni. La lagrangiana di una particella elettricamente carica. Invarianza di Gauge del campo EM e corrispondenti cambiamenti della lagrangiana. ℅ varianza delle Eq. Di Lagrange rispetto a cambio di coordinate generalizzate.
Applicazioni delle equazioni di Lagrange Invarianza delle eq. Di Lagrane rispetto a cambiamenti di coordinate
Il regolatore di Watt. Lagrangiana per particelle libere su superfici. L'energia cinetica. L'energia libera e l'energia a riposo. Limite non relativistico. Principio di Hamilton Funzionale di Azione. La legge relativistica del mncipio di Hamilton. Derivazione delle equazioni di Eulero -Lagrange, Problemi variazionali Problemi di cammino minimo: curve minime nel piano e sulla sfera, geodetiche. Problemi di tempo minimo, brachistocrona. Principio di Fermat.
Forma generale della Lagrangiana Espressione dell'energia cinetica in presenza di vincoli olonomi reonomi. Sistemi di riferimento in moto relativo. Forze apparenti. Forza centrifuga e di Coriolis.
Integrali del moto nel formalismo lagrangiano Conservazione dell'energia meccanica. Coordinate ignorabili Teorema di Noether. Applicazioni. Riduzione dei sistemi lagrangiano e loro forma normale Teorema di Routh. Applicazioni ai problemi con potenziali centrali . Condizione di riduzione delle eq. alla forma normale. Lagrangians del secondo ordine
Le equazioni di Hamilton La trasformazione di Legendre. Momenti coniugati. Regole di trasformazione per lo spazio tangente (velocità) e spazio cotangente (momenti). Spazio delle fasi. Hamiltoniana. Equazioni di Hamilton.
Sistemi Hamiltoniani Proprietà generali dei sistemi hamiltoniani. Matrice simplettica canonica. Algebra delle funzioni differenziabili nello spazio delle fasi. Gradienti nello spazio spazio delle fasi. Forma simplettica delle equazioni di Hamilton. Campi hamiltoniani. Flussi hamiltoniani. Divergenza nello spazio delle fasi. Teorema di Liouville.
Formalismo delle Parentesi di Poisson Struttura geometrica dello spazio delle fasi. Definizione generale delle Parentesi di Poisson. Matrici simplettiche. Gruppo simplettiche. Teorema di Darboux. Equazioni di Hamilton nel formalismo delle PP. Integrali del moto nel formalismo delle PP. Integrali del moto funzionalmente indipendenti. Funzioni di Casimir. Algebra delle componenti del momento angolare. Esempi. Struttura di Poisson per il problema del pendolo semplice. Il Pendolo sferico. La trottola simmetrica. Trottola simmetrica libera (trottola di Eulero) Trottola di Lagrange.
Le trasformazioni Canoniche Le trasformazioni Canoniche, Condizione di canonicità, Invariata dei volumi nello Spazio delle Fasi. Espressione della canonicità in termini i di Parentesi di Poisson. Esempi. Il flusso hamiltoniano come trasformazione canonica.
Cenno al metodo di Hamilton-Jacobi e al teorema della completa integrabili di Liouville.

Oscillazioni.  La Lagrangiana del Bipendolo. Punti di equilibrio. Approssimazione alle Piccole oscillazioni. Equazioni di Lagrange e riduzione del moto alla Sovrapposizione di Modi Normali.
La radiazione EM in cavità Il Campo E.M in una cavità 1-dim. Modi Normali e decomposizione in modi. Densità di stati. Il campo EM in una cavità 3-dim. Conteggio dei modi normali e densità degli stati. Teorema di Equipartizione dell'energia. Sua applicazione al campo EM in cavità: legge di Rayleigh - Jeans. Spettro della Radiazione di Corpo Nero. Legge di Stefan-Boltzmann. Legge di Wien.
La distribuzione di Planck Catastrofe ultravioletta. Ipotesi di Planck della quantizzazione dell'energia. Calcolo dell'energia media di ogni modo quantizzato. Distribuzione di Planck della densità di energia di un corpo nero. Forma in termini di lunghezza d'onda. Esempi e applicazioni.
Effetto fotoelettrico - Il fotone. Esperienza di Thompson sei raggi catodici. Esperienza di Millikan sulla carica fondamentale. Effetto fotoelettrico, caratteristiche volt-amperometriche. Interpretazione di Einstein dell'effetto fotoelettrico. Relazioni di Planck-Einstein. Quanto di radiazione, il fotone. Applicazioni semplici. Effetto Compton (cenni). Interferenza da singolo fotone. Interpretazione statistica delle equazioni di Maxwell. Interferenza da singolo elettrone. Interpretazione statistica del dualismo onda particella.
Testi di Riferimento:

 
  Esperienza di Thompson sei raggi catodici. Esperienza di Millikan sulla carica fondamentale. Effetto fotoelettrico, caratteristiche volt-amperometriche. Interpretazione di Einstein dell'effetto fotoelettrico. Relazioni di Planck-Einstein. Quanto di radiazione, il fotone. Applicazioni semplici. Effetto Compton (cenni). Interferenza da singolo fotone. Interpretazione statistica delle equazioni di Maxwell. Interferenza da singolo elettrone. Interpretazione statistica del dualismo onda particella. 

Testi di Riferimento:

 

H. Goldstein, C. Poole, J. Safko :" Classical Mechanics"

 

R.A. Leo: "Introduzione alla Fisica Moderna"

 

G. Benettin:" Appunti di Meccanica Analitica" e "Appunti del corso di Fisica matematica"

 

ECG Sudarshan , N. Mukunda:" Classical Dynamics, A modern perpective", World Scientific , Singapore (2016)

 

V.I. Arnold " Metodi matematici della meccanica classica"

 

B. Dubrovin:" Appunti di Meccanica analitica"

 

C.M. Becchi, M. D'Elia:" Introduction to the basic concepts of modern physics", Springer

 

R M Eisberg:" Quantum Physics: Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles" , John Wiley & Sons Inc

  

Appunti delle lezioni reperibili in MATERIALE DIDATTICO e LINK (colonna a destra)

 

http://theoreticalminimum.com/courses/classical-mechanics/2011/fall

 

Modalità d'esame:Esame con esercizio scritto. All'esame orale si è ammessi con 16/30. Il superamento dell'esame comprende una prova orale sugli argomenti del corso, che è obbligatoria solo per coloro che alla prova scritta hanno ottenuto un voto inferiore o uguale a 18.

 Orario di Ricevimento: tutti i giorni escluso il sabato  dalle 9.00 alle 10.00 

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 Elementi di Geometria Differenziale in Fisica Teorica (Dottorato in Fisica 3 CFD 2013/2014)

Elementi di Geometria Differenziale delle Varieta', Connessioni sulle varieta', Teoria dell'omologia e co-omologia. Loro applicazioni alla teoria dei campi.

Modalita' di erogazione: lezioni frontali

Organizzazione della didattica : Introduzione generale da manuali di Geometria Differenziale, studio di applicazioni in Fisica Teorica

Modalita' dell'esame:   elaborato scritto su un tema specifico del corso.